miércoles, 2 de diciembre de 2015
SUMA DE RIEMAN
Sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy fácil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del calculo.
Consiste en trazar un numero finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérico es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
PROPIEDADES
NOTACION
Consiste en trazar un numero finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérico es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
PROPIEDADES
NOTACION
martes, 3 de noviembre de 2015
ANTIDERIVADA 3 (INTEGRAL INDEFINIDA)
Introducción al concepto de antiderivada o integral indefinida, se explican tres ejemplos de como encontrar la antiderivada de función que es suma de funciones potenciales de forma ágil.
En este caso se muestra que aunque algunas funciones se ¨disfrazan¨ de producto y cociente pueden re escribirse como una simple suma para aplicar las propiedades básicas de la integración de la integral indefinida y encontrar la primitiva
En este video veremos tres problemas donde aplicaremos la fórmula ∫〖(x^n)dx〗= [(x^n+1)/n+1] + c, con n diferente de -1 y algunas de las otras propiedades vistas los videos anteriores con el fin de encontrar la antiderivada de algunas funciones. El primer problema es: Sea f(x)= 2(x)^1/3-2(x)^1/4+8x, encuentre ∫f(x)dx, para resolver este problema debemos notar que la integral de la suma o resta es igual a la suma o resta de las integrales individuales, además que la integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función, teniendo en cuenta estas propiedades tenemos que: ∫〖(2(x)^1/3-2(x)^1/4+8x)dx〗 = 2[(x)^2/3+1]/[2/3+1]-2[(x)^1/4+1]/[1/4+1]+8[x^1+1/1+1] + C, si simplificamos este resultado obtenemos que: ∫〖(2(x)^1/3-2(x)^1/4+8x)dx〗 = (3/2)(x^4/3) – (8/5)(x^5/4)+(4x^2)+ C.
El segundo problema es: Sea f(x)= (2x^2+1)(x^4/3-x) encuentre ∫f(x)dx, para resolver este problema lo primero que debemos hacer es distribuir el producto y expresar la integral en términos de suma y resta, esto se hace debido a que no existe ninguna propiedad para hallar la integral de un producto, entonces, distribuyendo el producto tenemos que: ∫〖(2x^2+1)(x^4/3-x)dx〗=∫〖[2(x^10/3)〗-2(x^3)-x^4/3+x]dx, entonces aplicando las propiedades de la integración, finalmente tenemos que el valor de la integral es: ∫〖f(x)dx=〗(6/13)(x^13/3)-(1/2)(x^4)-(3/7)(x^7/3)+ (1/2)(x^2)+C. Notemos que si queremos comprobar que la integral se realizó de manera correcta lo que debemos hacer es derivar el resultado y compararlo con la función original. En el video se muestra un problema más de integración en donde se tiene que aplicar las propiedades de integración vistas anteriormente.
En este caso se muestra que aunque algunas funciones se ¨disfrazan¨ de producto y cociente pueden re escribirse como una simple suma para aplicar las propiedades básicas de la integración de la integral indefinida y encontrar la primitiva
En este video veremos tres problemas donde aplicaremos la fórmula ∫〖(x^n)dx〗= [(x^n+1)/n+1] + c, con n diferente de -1 y algunas de las otras propiedades vistas los videos anteriores con el fin de encontrar la antiderivada de algunas funciones. El primer problema es: Sea f(x)= 2(x)^1/3-2(x)^1/4+8x, encuentre ∫f(x)dx, para resolver este problema debemos notar que la integral de la suma o resta es igual a la suma o resta de las integrales individuales, además que la integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función, teniendo en cuenta estas propiedades tenemos que: ∫〖(2(x)^1/3-2(x)^1/4+8x)dx〗 = 2[(x)^2/3+1]/[2/3+1]-2[(x)^1/4+1]/[1/4+1]+8[x^1+1/1+1] + C, si simplificamos este resultado obtenemos que: ∫〖(2(x)^1/3-2(x)^1/4+8x)dx〗 = (3/2)(x^4/3) – (8/5)(x^5/4)+(4x^2)+ C.
El segundo problema es: Sea f(x)= (2x^2+1)(x^4/3-x) encuentre ∫f(x)dx, para resolver este problema lo primero que debemos hacer es distribuir el producto y expresar la integral en términos de suma y resta, esto se hace debido a que no existe ninguna propiedad para hallar la integral de un producto, entonces, distribuyendo el producto tenemos que: ∫〖(2x^2+1)(x^4/3-x)dx〗=∫〖[2(x^10/3)〗-2(x^3)-x^4/3+x]dx, entonces aplicando las propiedades de la integración, finalmente tenemos que el valor de la integral es: ∫〖f(x)dx=〗(6/13)(x^13/3)-(1/2)(x^4)-(3/7)(x^7/3)+ (1/2)(x^2)+C. Notemos que si queremos comprobar que la integral se realizó de manera correcta lo que debemos hacer es derivar el resultado y compararlo con la función original. En el video se muestra un problema más de integración en donde se tiene que aplicar las propiedades de integración vistas anteriormente.
ANTIDERIVADA 2 (INTEGRAL INDEFINIDA)
En esta parte se hace énfasis en como encontrar la antiderivada de x elevado a la n y como a partir de esta fórmula y las propiedades básicas de la antiderivada podemos encontrar la primitiva de funciones más complejas donde tengamos x con exponente
En este video vamos a continuar con la introducción al concepto de antiderivada o integral indefinida. En un video anterior habíamos dicho que si encontrábamos que la derivada F’(x) era igual a f(x), entonces F(x) es la antiderivada o primitiva de f(x), inclusive introdujimos el nombre de integral indefinida. Es decir que la integral indefinida de f(x), es F(x) más “c”. En el video anterior también se habló de una fórmula para una función de tipo x a la n. En este video se aclara que n tiene que ser distinto de -1 porque sería igual a tener x a la cero dividido cero, más c.
De igual manera, en este video, se explica cómo encontrar entonces la antiderivada de x a la menos 1, mediante el uso de los logaritmos naturales. En este video nos concentramos en explorar la fórmula para encontrar la integral de x a la n, con algunos ejemplos para entender cómo utilizarla y agilizar su uso. Cuando los exponentes no son enteros y queremos encontrar la integral de f(x), procedemos de la misma manera con el uso de la fórmula. Para verificar la integral hallada, podemos derivarla y el valor que nos debe dar tiene que ser igual a la función inicial.
En este video vamos a continuar con la introducción al concepto de antiderivada o integral indefinida. En un video anterior habíamos dicho que si encontrábamos que la derivada F’(x) era igual a f(x), entonces F(x) es la antiderivada o primitiva de f(x), inclusive introdujimos el nombre de integral indefinida. Es decir que la integral indefinida de f(x), es F(x) más “c”. En el video anterior también se habló de una fórmula para una función de tipo x a la n. En este video se aclara que n tiene que ser distinto de -1 porque sería igual a tener x a la cero dividido cero, más c.
De igual manera, en este video, se explica cómo encontrar entonces la antiderivada de x a la menos 1, mediante el uso de los logaritmos naturales. En este video nos concentramos en explorar la fórmula para encontrar la integral de x a la n, con algunos ejemplos para entender cómo utilizarla y agilizar su uso. Cuando los exponentes no son enteros y queremos encontrar la integral de f(x), procedemos de la misma manera con el uso de la fórmula. Para verificar la integral hallada, podemos derivarla y el valor que nos debe dar tiene que ser igual a la función inicial.
ANTIDERIVADA (CONCEPTOS BASICOS)
ANTIDERIVADA 1 (INTEGRAL DEFINIDA)
Introducción al concepto de antiderivada, conocida también como integral indefinida.
En esta parte se explica el concepto partiendo desde la derivada como operación inversa. Se explica la notación y propiedades así como la existencia de infinitas antiderivadas para una misma función. La antiderivada de una función también se denomina primitiva ya que al derivar está se obtiene la función original.
En este video veremos el concepto de antiderivada. Si tenemos una función de f mayúscula de x a la cual derivamos y obtenemos f minúscula de x en un intervalo i cualquiera decimos que f de x mayúscula es la antiderivada de f minúscula, matemáticamente esto se expresa como: F’(x)=f(x) entonces F(x) es antiderivada de f(x). Para entender un poco mejor este concepto, tengamos en cuenta el siguiente ejemplo: Si decimos que d/dx(senx) = cosx, decimos entonces que senx es la antiderivada de cosx y por lo tanto F(x)= senx y f(x)=cosx, entonces lo que pretendemos con este video es que partiendo de f(x) podamos encontrar a F(x), observemos por ejemplo que si nos piden encontrar la antiderivada de f(x)=2x, pueden existir muchas funciones que sean antiderivadas como por ejemplo F(x)=x^2+1 ya que si derivamos esta función obtenemos f(x)=2x ó f(x)=x^2-4 ya que si derivamos también a esta función obtenemos f(x)=2x, como vemos pueden existir infinitas antiderivadas para alguna función en particular, en este caso podemos decir, de manera general que la antiderivada de f(x)=2x es F(x)=x^2+c, donde c es una constante.
Existen mecanismos para encontrar la antiderivada de una función, en este video se citaran algunos de los más comunes. La antiderivada se le conoce también con otros nombres tales como la primitiva y la integral, de ahora en adelante cuando queramos representar la antiderivada de una función lo que tendremos que hacer es poner una ∫f(x)〗 dx antes de la función, este símbolo se le conoce como integral indefinida, el dx se conoce como diferencial y se utiliza para saber con respecto a que variables estamos hallando la antiderivada. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente notemos entonces que la antiderivada de una función elevada a la n, es decir ∫(x^n)dx〗= [(x^n+1)/n+1] + c, podemos comprobar que esta es efectivamente la fórmula ya que si derivamos el término de la derecha obtenemos la función x^n. En el video se muestran algunas de las propiedades más importantes de la integración.
HISTORIA DEL CALCULO
¿QUE ES EL CALCULO?
El calculo es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicaciones de calculo diferencial e integral.
El calculo es la matemática del cambio, velocidades y aceleraciones, también es la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, sentoides, corvativas, que pueden modelar situaciones de la vida real.
APORTACIONES DEL CALCULO:
ISAAC NEWTON
Fue un físico inventor y matemático ingles, contribuyo al desarrollo del calculo integral y diferencial. También desarrollo el teorema del binomio y las formulas de Newton en el área matemática.
JOHANNES KEPLER
Astrónomo matemático alemán no hizo aportación especifica al calculo; estableció algunas bases para desarrollar esta área matemática.
Desarrollo un sistema infinitesimal precursos del calculo.
NICOLAS ORESME
Fue un genio intelectual francés. Desarrollo el calculo de potencias de exponentes enteros y racionales. E incluso dejo entre ver la posibilidad de potencias de exponente irracional.
LEONARD EULER
Refino los métodos y las ramas las formas del calculo integral (no solo gracias a resultados sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométrica y sustituye por métodos algebraicos.
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